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proposées

$\int \mathrm {Z} '\sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz,\qquad -\int (\mathrm {Z} )\sin \left[(a-z){\sqrt {k}}\right]dz,$

on aura

$\mathrm {Z'=R} +a{\frac {d\mathrm {R} }{dz}},\qquad (\mathrm {Z} )=\mathrm {R} -a{\frac {d\mathrm {R} }{dz}},$

d’où l’on déduira le rapport entre $(Z)$ et $\mathrm {Z} '.$ Multipliant la première équation par $e^{\frac {z}{a}}dz$ et intégrant, il vient

$\int \mathrm {Z} 'e^{\frac {z}{a}}dz=a\mathrm {R} e^{\frac {z}{a}}$

et

$\mathrm {R} ={\frac {1}{a}}e^{-{\frac {z}{a}}}\int \mathrm {Z} 'e^{\frac {z}{a}}dz,$

d’où l’on tire, en substituant,

$(\mathrm {Z} )={\frac {2}{a}}e^{-{\frac {z}{a}}}\int \mathrm {Z} 'e^{\frac {z}{a}}dz-\mathrm {Z} '.$

Or, nous avons supposé que $\mathrm {R}$ était égal à zéro lorsque $z=\mathrm {B'B} \,;$ on satisfera donc à cette condition en prenant l’intégrale $\int \mathrm {Z} 'e^{\frac {z}{a}}dz,$ telle qu’il s’évanouisse dans ce cas ; il ne faudra pour cela que poser $\mathrm {B'B} -y$ au lieu de $z,$ et $-dy$ au lieu de $dz,$ et commencer l’intégration avec les abscisses $y$ du point $\mathrm {B} \,;$ en allant vers $\mathrm {B} '\,;$ on aura par ce moyen

$(\mathrm {Z} )={\frac {2}{a}}e^{\frac {y}{a}}\int \mathrm {Z} 'e^{-{\frac {y}{a}}}dy-\mathrm {Z} '.$

Telle est la valeur de $(\mathrm {Z} )$ qui, étant prise au lieu de $\mathrm {Z} ',$ pour multiplier chaque ordonnée correspondante de la branche $\mathrm {B} '{\grave {\,}}\!\mathrm {S} ,$ produira une aire égale à celle qui se formerait en multipliant la valeur de $\mathrm {Z} '$ par l’ordonnée correspondante non pas de la branche $\mathrm {B} '{\grave {\,}}\!\mathrm {S} ,$ mais de celle qui serait la vraie continuation de la courbe $\mathrm {A'S'B'}$ dans notre cas. De là et du rai-