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Ce qu’on vient de démontrer sur la fonction $\varphi$ doit se dire de même de l’autre fonction $\psi$ qui appartient à la courbe $\mathrm {AQB} ,$ et il ne sera pas difficile de l’appliquer aussi aux autres fonctions $\varphi '$ et ${\grave {\,}}\!\psi$ pour les courbes $aqb,$ $\mathrm {ANB} ,$ et de faire voir le parfait accord qu’il y a entre les résultats de ces procédés et ceux qu’on a trouvés plus haut par une voie différente.

Cette matière aurait peut-être besoin d’être traitée avec un plus long détail que nous ne l’avons fait ici, mais ceux qui auront bien saisi l’esprit de nos méthodes n’auront pas de peine à suppléer d’eux-mêmes à ce qui peut manquer pour l’entière exactitude des démonstrations, sans qu’il soit nécessaire de nous étendre davantage là-dessus.

24. Il est à remarquer au reste que l’on abrégerait beaucoup la solution précédente, si, par le moyen de quelque substitution convenable, on parvenait à ramener tout d’un coup l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right)$

à la forme

${\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z'}{dx^{2}}}.$

Or pour cela il n’y aurait qu’à supposer

$z={\frac {\int z'xdx}{x^{2}}},$

ce qui donne, en différentiant,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&{\frac {\int {\cfrac {d^{2}z'}{dt^{2}}}xdx}{x^{2}}},\\{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}=&{\frac {z'}{x^{2}}}-{\frac {3\int z'xdx}{x^{4}}},\\{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=&{\frac {\cfrac {dz'}{dx}}{x}}-{\frac {3z'}{x^{2}}}+{\frac {6\int z'xdx}{x^{4}}},\end{aligned}}$