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que celui que nous venons d’examiner, l’expression de la vitesse du son deviendrait toujours plus compliquée et par conséquent moins conforme à la véritable.

43. Passons maintenant à l’hypothèse des ondulations sphériques, et cherchons par le moyen du Problème V si le changement que la supposition des ébranlements finis cause dans leur propagation peut s’accorder avec les phénomènes.

Par les principes posés dans le n^o 30, on trouvera pour l’équation rigoureuse du mouvement du fluide

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&-c\,{\frac {d\left[{\cfrac {x^{2}}{(x+z)^{2}}}{\frac {1}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}}\right]}{dx}}{\frac {(x+z)^{2}}{x^{2}}}\left(1+{\frac {dz}{dx}}\right)\\=&{\frac {\cfrac {d^{2}z}{dx^{2}}}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}}+{\frac {2}{x+z}}{\frac {dz}{dx}}-{\frac {2z}{x(x+z)}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire, par la voie des séries,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right)&-c\left({\frac {dz}{dx}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2{\frac {z}{x}}{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right)\\&+c\left[\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2{\frac {z^{2}}{x^{2}}}{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right]-\ldots .\end{aligned}}$

On aura donc, selon le Problème V,

$y=-c\left({\frac {dz}{dx}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2{\frac {z}{x}}{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right),$

en négligeant les autres termes qui renferment plus de deux dimensions de $z\,;$ donc

$\int ydx=-{\frac {c}{2}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}-c{\frac {z^{2}}{x^{2}}},$