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$\int {\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Z} ^{2}}}\mathrm {N} d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} =\int z\mathrm {\frac {d^{2}N}{dZ^{2}}} d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} +\int \left({\frac {dz}{d\mathrm {Z} }}\mathrm {N} -z\mathrm {\frac {dN}{dZ}} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} ,$

$\int {\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}\mathrm {N} d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} =\int x{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} +\int {\frac {dx}{d\mathrm {X} }}\mathrm {N} d\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\int x\mathrm {\frac {dN}{dZ}} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,$

$\int {\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}\mathrm {N} d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} =\int y{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} +\int {\frac {dy}{d\mathrm {Y} }}\mathrm {N} d\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\int y\mathrm {\frac {dN}{dZ}} d\mathrm {X} d\mathrm {Z} .$

Dans ces transformées, il y a, comme on le voit, deux sortes d’expressions intégrales : les unes, plus générales, renferment trois intégrations, suivant la variabilité des trois coordonnées $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et expriment par conséquent la somme d’autant de valeurs particulières qu’il y a de particules dans la masse totale du fluide ; les autres, au contraire, moins générales, ne renferment chacune que deux intégrations suivant la variabilité de deux des coordonnées $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z} ,$ et ne dénotent en conséquence que la somme d’autant de valeurs particulières qu’il y a de particules dans une seule tranche du fluide. Celles-ci pourront donc être regardées comme des constantes à l’égard de la troisième variable manquante, et l’on sera toujours le maître de les faire évanouir, en donnant certaines limitations aux valeurs des quantités $\mathrm {L,M}$ et $\mathrm {N} ,$ selon la figure de l’espace dans lequel on suppose que la masse de l’air est renfermée.

Ainsi, par exemple, si cette figure est celle d’un parallélipipède quelconque, on voit aisément que $x$ est nul dans les deux plans opposés qui sont perpendiculaires à la ligne $\mathrm {X} \,;$ d’où il suit que les intégrales qui contiennent $x$ seront aussi nulles dans toute leur étendue, à cause que ces intégrales ne varient que suivant $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z} \,;$ par une raison semblable, on verra que les intégrales contenant $y$ et $z$ s’évanouiront aussi d’elles-mêmes ; donc, pour achever de faire évanouir les autres intégrales, on supposera $\mathrm {L}$ tel, qu’il devienne égal à zéro lorsque $\mathrm {X} =0$ et lorsque $\mathrm {X} =a,$ quels que soient $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z} \,;$ ensuite, $\mathrm {M}$ devra devenir égal à zéro lorsque $Y=0$ et $\mathrm {Y} =b$, $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Z}$ étant quelconques ; enfin, $\mathrm {N}$ devra disparaître de même en posant $Z=0$ et $\mathrm {Z} =c,$ pour toute l’étendue des $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$ $a,b,c$ étant les trois dimensions du parallélipipède donné.

Si la masse du fluide avait une autre figure quelconque, on trouverai aussi, en ayant égard à cette figure, les conditions qui pourront faire