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Considérons d’abord des flûtes de forme exactement cylindrique, et supposons que la colonne d’air qui y est renfermée soit soutenue, à ses deux extrémités, par une force égale au ressort naturel de l’air extérieur.

Dénotant par $z$ les excursions longitudinales de chaque partie d’air, on aura l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$

d’où il sera aisé de tirer, par le Problème I ci-dessus, les mêmes résultats que dans le numéro cité, en supposant, comme on l’a pratiqué partout ailleurs, $z$ nul lorsque $x=0$ et $x=a,$ $a$ étant ici la longueur entière de la flûte ; mais, dans le cas que nous nous proposons d’examiner, ce n’est plus cette condition qui doit avoir lieu ; il faut que l’élasticité de la première et de la dernière particule soit la même que l’élasticité naturelle de l’atmosphère, savoir, que

$c\left(1-{\frac {dz}{dx}}\right)=0\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {dz}{dx}}=0,$

lorsque $x=0$ et $x=a.$ Or, puisque dans ces deux points les deux termes ${\frac {dz}{dx}}\mathrm {M}$ et $z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}$ doivent disparaître d’eux-mêmes, par la nature de notre méthode (voyez Problème I), il faudra que la différentielle ${\frac {d\mathrm {M} }{dx}}$ y devienne nulle ; c’est pourquoi l’on aura

$\mathrm {M} =\mathrm {A} \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\quad {\text{et}}\quad {\sqrt {-k}}={\frac {\nu \pi }{2a}},$

et par conséquent les équations

${\begin{aligned}\int z\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {Z} \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&+{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \mathrm {U} \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx,\\\int u\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {U} \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&-{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {Z} \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx.\end{aligned}}$