sinus. M. d’Alembert m’objecte que cela n’est permis que pour tout angle
étant un nombre fini, et nullement pour les angles ![{\displaystyle {\frac {(m-1)\varpi }{4m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70370de6463afd8821a3b83ef544475667f9eaf)
Cette objection prise en elle-même est solide et sans réplique ; mais elle perd toute sa force si on la considère par rapport à la formule dont il s’agit, car je vais prouver directement et invinciblement que les expressions
![{\displaystyle \sin {\frac {\varpi }{4m}},\quad \sin {\frac {2\varpi }{4m}},\ldots \quad \sin {\frac {(m-1)\varpi }{4m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a474066c1b83de768a8f2ddce0d80117f11345)
doivent être changées en
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{4m}},\quad {\frac {2\varpi }{4m}},\ldots \quad {\frac {(m-1)\varpi }{4m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db395d35d05cd3fa331dac217004bf2636d42e0d)
dans le cas de ![{\displaystyle m=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96be3e0f504cc3d9d1ddd9b5fc72ab7cfe4e661e)
En remontant à l’analyse du Chapitre cité, il est aisé de trouver que toutes ces expressions viennent (XXI) de l’expression générale
![{\displaystyle \pm 2{\sqrt {e}}\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96c7c6b3ef4b0c19c537051bd6085e21a91e2a5)
qui est celle du coefficient
(XIX),
étant un nombre quelconque entier depuis zéro jusqu’à
Tout se réduit donc à prouver que, quand ![{\displaystyle m=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61e4348a56d391f075ecfdba6113bfe18b802e4)
![{\displaystyle \mathrm {R} =\pm 2{\sqrt {e}}{\frac {\nu \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e6fbfb75b8a630e2f0bb7eb78e93528250eef9)
Pour y parvenir, je remarque d’abord (XIX) que
![{\displaystyle \mathrm {R} ^{2}=e(k-2)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b541bc90283592184ee1b50cab93afb5a8cb33a8)
je vois de plus que la valeur de
dépend de cette condition que
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\mu }={\frac {a^{\mu }-b^{\mu }}{a-b}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08882ca847b015a921c7cd72ed3fdae730c96a93)
lorsque
étant égal à
et
égal à ![{\displaystyle {\frac {k}{2}}-{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27d7bb822d0f27450891183983f7797f522189b)