Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/381

c’est-à-dire de l’équation

${\frac {\left({\cfrac {k}{2}}+{\sqrt {{\cfrac {k^{2}}{4}}-1}}\right)^{m}-\left({\cfrac {k}{2}}-{\sqrt {{\cfrac {k^{2}}{4}}-1}}\right)^{m}}{2{\sqrt {{\cfrac {k^{2}}{4}}-1}}}}=0,$

ou simplement

$\left({\frac {k}{2}}+{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}-1}}\right)^{m}-\left({\frac {k}{2}}-{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}-1}}\right)^{m}=0.$

Or, ${\sqrt {e}}=m\mathrm {\frac {H}{T}}$ (XXXV), $\mathrm {\frac {H}{T}}$ étant une quantité finie ; donc

$k=2+{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{e}}=2+{\frac {\mathrm {R^{2}T^{2}} }{m^{2}\mathrm {H} ^{2}}}\,;$

mais $\mathrm {R}$ doit être aussi une quantité finie, comme il est aisé de le voir par la nature même du calcul, donc ${\frac {\mathrm {R^{2}T^{2}} }{m^{2}\mathrm {H} ^{2}}}$ sera une quantité infiniment petite du second ordre dans le cas où $m=\infty .$

Qu’on suppose $\mathrm {\frac {RT}{H}} =f{\sqrt {-1}},$ en sorte que $k=2-{\frac {f^{2}}{m^{2}}},$ et qu’on mette cette valeur de $k$ dans l’équation ci-dessus, il viendra

$\left(1-{\frac {f^{2}}{2m^{2}}}+{\sqrt {-{\frac {f^{2}}{m^{2}}}+{\frac {f^{4}}{4m^{4}}}}}\right)^{m}-\left(1-{\frac {f^{2}}{2m^{2}}}-{\sqrt {-{\frac {f^{2}}{m^{2}}}+{\frac {f^{4}}{4m^{4}}}}}\right)^{m}=0,$

équation qui, en négligeant ce qui se doit négliger à cause de $m=\infty ,$ se réduit à celle-ci

$\left(1+{\frac {f}{m}}{\sqrt {-1}}\right)^{m}-\left(1-{\frac {f}{m}}{\sqrt {-1}}\right)^{m}=0.$

Or on sait qu’une expression telle que

${\frac {\left(1+{\cfrac {f}{m}}{\sqrt {-1}}\right)^{m}-\left(1-{\cfrac {f}{m}}{\sqrt {-1}}\right)^{m}}{2{\sqrt {-1}}}}$

devient, dans le cas de $m=\infty ,$ égale à $\sin f\,;$ donc l’équation qu’on vient de trouver est équivalente à $2{\sqrt {-1}}\sin f=0,$ savoir à $\sin f=0\,;$