II.
Exemple. — Soit cherchée la courbe brachistochrone dans le vide.
Nommant l’abscisse verticale, et et les deux ordonnées horizontales et perpendiculaires l’une à l’autre, la formule qui exprime le temps sera
laquelle étant comparée à on a
et différentiant par suivant les règles ordinaires des différentiations,
donc, posant, pour abréger,
on a
et toutes les autres quantités égales à zéro.
III.
Premier cas.-Or, si le Problème est de trouver en général, entre toutes les courbes possibles, celle de la plus vite descente, on aura en ce cas les équations