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II.

Exemple. — Soit cherchée la courbe brachistochrone dans le vide.

Nommant $x$ l’abscisse verticale, et $y$ et $z$ les deux ordonnées horizontales et perpendiculaires l’une à l’autre, la formule qui exprime le temps sera

${\frac {\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{\sqrt {x}}},$

laquelle étant comparée à $\int \mathrm {Z} ,$ on a

$\mathrm {Z} ={\frac {\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{\sqrt {x}}}\,;$

et différentiant par $\delta ,$ suivant les règles ordinaires des différentiations,

${\begin{aligned}\delta \mathrm {Z} =&-{\frac {\delta x{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{2x{\sqrt {x}}}}+{\frac {dx\delta dx}{{\sqrt {x}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}}\\&+{\frac {dy\delta dy}{{\sqrt {x}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}}+{\frac {dz\delta dz}{{\sqrt {x}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}}\,;\end{aligned}}$

donc, posant, pour abréger,

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},$

on a

$n=-{\frac {ds}{2x{\sqrt {x}}}},\quad p={\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}},\quad \mathrm {P} ={\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}},\quad \varpi ={\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}},$

et toutes les autres quantités $q,r,\mathrm {N,Q} ,\ldots ,$ égales à zéro.

III.

Premier cas.-Or, si le Problème est de trouver en général, entre toutes les courbes possibles, celle de la plus vite descente, on aura en ce cas les équations

$n-dp=0,\qquad -d\mathrm {P} =0,\qquad -d\varpi =0,$