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savoir

$-{\frac {ds}{2xdx}}-d{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\qquad -d{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\qquad -d{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}=0\,;$

ces trois équations devant représenter une courbe unique, il faut qu’elles se réduisent à deux seulement : c’est de quoi il est facile de s’assurer par le calcul, car la seconde étant multipliée par $2{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}$ et ajoutée à la troisième multipliée par $2{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}},$ il vient, à cause de $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

$d\left({\frac {1}{x}}-{\frac {dx^{2}}{xds^{2}}}\right)=0,$

savoir, en différentiant et divisant le tout par ${\frac {2dx}{{\sqrt {x}}ds}},$

$-{\frac {ds}{2xdx}}-d{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0,$

qui est la première équation.

Présentement, si l’on intègre les deux équations

$d{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\qquad d{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}=0,$

on a

${\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}={\frac {1}{\sqrt {a}}},\qquad {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}={\frac {1}{\sqrt {b}}},$

d’où l’on tire d’abord

${\frac {dy}{dz}}={\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a}}},$

ce qui fait voir que la courbe cherchée est toute dans un même plan vertical, et que par conséquent elle est à simple courbure. Pour la mieux connaître, rapportons-la à deux coordonnées prises dans son même plan. Que $x$ soit l’une et $t$ l’autre, on aura

${\sqrt {y^{2}+z^{2}}}=t,$