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équation qui devra avoir lieu seulement dans le point où la courbe rencontre le plan ; or, ce plan étant donné de position, l’abscisse se qui y répond sera donnée aussi ; par conséquent, on aura $\delta x=0,$ et le reste de l’équation devra être vrai, quelles que soient $\delta y$ et $\delta z.$ On aura donc

${\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\quad {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\quad a=\infty ,\quad b=\infty ,$

ce qui transformera la cycloïde en une droite verticale. Mais, si le plan donné au lieu d’être horizontal était vertical et perpendiculaire à l’axe des $y$ ou des $z,$ on aurait alors $\delta y=0,$ et par conséquent

${\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\quad {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}=0,$

pour le premier cas, et $\delta z=0,$ et par conséquent

${\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\quad {\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0$

pour le second ; par là, on déterminerait les constantes $a$ et $b,$ et l’on trouverait que la cycloïde devrait être telle qu’elle rencontrât le plan donné à angles droits.

En général, si, au lieu d’un plan, on prend une surface quelconque pour terme de la brachistochrone, il est clair que les $\delta x,\delta y,\delta z$ de l’équation (C) devront avoir entre elles un rapport dépendant de la nature de la surface donnée ; de sorte que,

$dz=\mathrm {T} dx+\mathrm {U} dy$

étant supposée l’équation différentielle de cette surface, on aura

$\delta z=\mathrm {T} \delta x+\mathrm {U} \delta y$

donc, substituant cette valeur de $\delta z$ dans l’équation (C), on aura

$\left({\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}+\mathrm {T} {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}\right)\delta x+\left({\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}+\mathrm {U} {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}\right)\delta y=0\,;$