équation qui devra avoir lieu seulement dans le point où la courbe rencontre le plan ; or, ce plan étant donné de position, l’abscisse se qui y répond sera donnée aussi ; par conséquent, on aura et le reste de l’équation devra être vrai, quelles que soient et On aura donc
ce qui transformera la cycloïde en une droite verticale. Mais, si le plan donné au lieu d’être horizontal était vertical et perpendiculaire à l’axe des ou des on aurait alors et par conséquent
pour le premier cas, et et par conséquent
pour le second ; par là, on déterminerait les constantes et et l’on trouverait que la cycloïde devrait être telle qu’elle rencontrât le plan donné à angles droits.
En général, si, au lieu d’un plan, on prend une surface quelconque pour terme de la brachistochrone, il est clair que les de l’équation (C) devront avoir entre elles un rapport dépendant de la nature de la surface donnée ; de sorte que,
étant supposée l’équation différentielle de cette surface, on aura
donc, substituant cette valeur de dans l’équation (C), on aura