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d’où l’on tirera, à cause de $\delta d\mathrm {Z} =d\delta \mathrm {Z} ,$ la valeur de $\delta \mathrm {Z}$ exprimée par

$e^{-\int \mathrm {T} }\int e^{\int \mathrm {T} }\left(n\delta x+p\delta dx+\ldots \right),$

et de là

$\delta \int \mathrm {Z} =\int e^{-\int \mathrm {T} }\int e^{\int \mathrm {T} }(n\delta x+p\delta dx+\ldots ).$

En suivant les principes établis dans le Problème précédent, on supposera que $\mathrm {G}$ soit la valeur totale de $\int e^{-\int \mathrm {T} },$ et faisant ensuite

${\begin{aligned}ne^{\int \mathrm {T} }\left(\mathrm {G} -\int e^{-\int \mathrm {T} }\right)=&(n),\\pe^{\int \mathrm {T} }\left(\mathrm {G} -\int e^{-\int \mathrm {T} }\right)=&(p),\\qe^{\int \mathrm {T} }\left(\mathrm {G} -\int e^{-\int \mathrm {T} }\right)=&(q),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

on trouvera pour l’expression de $\delta \int \mathrm {Z}$ une formule tout à fait semblable à la formule (D) ci-dessus.

XII.

Scolie. — Les formules qui font l’objet des deux Problèmes précédents sont analogues à celles que M. Euler a traitées dans le Chapitre III de son ouvrage sur cette matière.

Le lecteur qui sera curieux de comparer nos solutions avec celles que ce savant Auteur a trouvées par une méthode différente verra qu’elles s’accordent dans les résultats, en ayant égard à ce qu’on a dit dans l’Article VII ci-dessus. Au reste, M. Euler n’est pas allé plus loin et n’a point examiné les cas où la formule $\mathrm {Z}$ dépendrait d’une équation différentielle d’un ordre plus élevé. Le Corollaire suivant ne laissera plus rien à désirer sur ce sujet.