Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/420

que le polygone cherché doit être tel, qu’il puisse être inscrit dans la demi-circonférence d’un cercle.

Si la base du polygone était donnée, alors il faudrait que le dernier $\delta x$ fût égal à zéro ; or,

$\delta x=-\int {\frac {dyd\delta y}{dx}},$

il faudrait donc que la valeur totale de $\int {\frac {dyd\delta y}{dx}}$ fût égale à zéro en même temps que celle de

$\int \left[dx\delta y+\left({\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}\right)d\delta y\right]$

est aussi égale à zéro. Pour cela, soit la première formule multipliée par un coefficient indéterminé $k,$ et ensuite ajoutée à la seconde, on aura

$\int \left[dx\delta y+\left(k{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}\right)d\delta y\right]=0\,;$

donc, faisant

$k{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}=z,$

on parviendra comme ci-dessus à l’équation

$a=x+dx-z,$

qui se réduit, en multipliant par $dx,$ à l’équation

$adx=kdy{\frac {1}{2}}d\left(x^{2}\right)+{\frac {1}{2}}d\left(y^{2}\right),$

dont l’intégrale est

$ax+b^{2}=ky+{\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}x^{2},$

équation d’un cercle en général ; d’où résulte ce théorème, que le plus grand polygone qu’on puisse former avec des côtés donnés est celui qui peut être inscrit dans un cercle.

M. Cramer a démontré ce théorème synthétiquement dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l’Académie de Berlin, année 1752.

Si l’on veut que les côtés du polygone ne soient pas donnés chacun en