que le polygone cherché doit être tel, qu’il puisse être inscrit dans la demi-circonférence d’un cercle.
Si la base du polygone était donnée, alors il faudrait que le dernier
fût égal à zéro ; or,
![{\displaystyle \delta x=-\int {\frac {dyd\delta y}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcf3e17541369c08bd8fe7a520dc7e25572fa3b)
il faudrait donc que la valeur totale de
fût égale à zéro en même temps que celle de
![{\displaystyle \int \left[dx\delta y+\left({\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}\right)d\delta y\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e4de5165c52cbf005985cc536f86a4c0970e69)
est aussi égale à zéro. Pour cela, soit la première formule multipliée par un coefficient indéterminé
et ensuite ajoutée à la seconde, on aura
![{\displaystyle \int \left[dx\delta y+\left(k{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}\right)d\delta y\right]=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703d84c02e01f69a4fa46a963418ab4b580ba299)
donc, faisant
![{\displaystyle k{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}=z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee9b35486148aa1a6fe87bbdcc993a2576b97d0)
on parviendra comme ci-dessus à l’équation
![{\displaystyle a=x+dx-z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e7d0101f7655ef4f61e6f543ca5c9ab4c4c564)
qui se réduit, en multipliant par
à l’équation
![{\displaystyle adx=kdy{\frac {1}{2}}d\left(x^{2}\right)+{\frac {1}{2}}d\left(y^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8cf913304d22dbe2ade01272f66ae6d30505c8)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle ax+b^{2}=ky+{\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92abf6f19a895e3e5d1f30def160c0ec9901788b)
équation d’un cercle en général ; d’où résulte ce théorème, que le plus grand polygone qu’on puisse former avec des côtés donnés est celui qui peut être inscrit dans un cercle.
M. Cramer a démontré ce théorème synthétiquement dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l’Académie de Berlin, année 1752.
Si l’on veut que les côtés du polygone ne soient pas donnés chacun en