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particulier, mais seulement leur somme, c’est-à-dire le périmètre du polygone, on fera simplement égale à zéro la différence de l’intégrale $\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$ ce qui donnera l’équation

$\delta \int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int {\frac {dx\delta x+dy\delta dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=0,$

laquelle devra avoir lieu en même temps que l’équation du maximum

$\int \left[dx\delta y+{\frac {1}{2}}dx\delta dy+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)\delta dx\right]=0.$

Multipliant donc une de ces équations par un coefficient indéterminé $k,$ et les ajoutant ensemble, on aura en général

$\int \left[dx\delta y+\left({\frac {1}{2}}dx+{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}\right)\delta dy+\left(y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}\right)\delta dx\right]=0.$

Soit supposé

${\frac {1}{2}}dx+{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=z\quad {\text{et}}\quad y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=u,$

on aura

$\int (dx\delta y+z\delta dy+u\delta dx)=0,$

équation qui se transforme par la même méthode que ci-dessus en

$z\delta y+u\delta x-\int \left[\left(dx-d\,{\grave {\,}}\!z\right)\delta y-d\,{\grave {\,}}\!u\delta x\right]=0,$

d’où l’on tire

$dx-d\,{\grave {\,}}\!z=0\quad {\text{et}}\quad d\,{\grave {\,}}\!u=0\,;$

on aura donc, en intégrant.

$x-{\grave {\,}}\!z=a,\quad {\text{savoir}}\quad x+dx-z=a,$

et

${\grave {\,}}\!u=b,\quad {\text{savoir}}\quad u=b,$

c’est-à-dire, en substituant pour $z$ et $u$ leurs valeurs,

$x+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=a,\qquad y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=b.$