Qu’on multiplie la première par
et la seconde par
et qu’ensuite on les ajoute ensemble, il viendra
![{\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}dx\right)dx+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)dy=adx+bdy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455bc71c3f589e6475f639d035084fa12df6bac8)
et, en intégrant,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}y^{2}=ax+by+r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708320d2261202ebabfe017498ca58044f73b666)
équation d’un cercle en général. Qu’on reprenne les mêmes équations et qu’on les carre, après avoir transposé les termes
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {k^{2}dy^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}=\left(a-x-{\frac {1}{2}}dx\right)^{2},\qquad {\frac {k^{2}dx^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}=\left(b-y-{\frac {1}{2}}dy\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9562ac24163829a75d8cb354ce41e0fda9cc4934)
ces équations étant ajoutées ensemble donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}k^{2}&=\left(a-x-{\frac {1}{2}}dx\right)^{2}+\left(b-y-{\frac {1}{2}}dy\right)^{2}\\&=a^{2}+b^{2}-2ax-2by+x^{2}+y^{2}-(a-x)dx-(b-y)dy+{\frac {1}{4}}dx^{2}+{\frac {1}{4}}dy^{2}\\&=a^{2}+b^{2}+r^{2}-{\frac {1}{4}}dx^{2}-{\frac {1}{4}}dy^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838c837b01361ef8e070c7a8571060073409cad7)
à cause de
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ax-2by=r^{2}\quad {\text{et}}\quad (a-x)dx+(b-y)dy={\frac {1}{2}}dx^{2}+{\frac {1}{2}}dy^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f98b1359938b604299e38d6bf3b65b386aca12)
donc
![{\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=2{\sqrt {a^{2}+b^{2}+r^{2}-k^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b3e994bb102f319b983b8e0427f59b7c8aebdb)
ce qui montre que tous les côtés du polygone doivent être égaux entre eux, et que par conséquent le polygone doit être régulier.
À l’égard des termes
il est clair que ces termes disparaîtront d’eux-mêmes, si l’on suppose les premiers et derniers
et
donnés ; mais si, la base du polygone étant donnée et étant égale à
l’ordonnée
qui y répond ne l’était pas, il faudrait faire
et
lorsque
on aurait donc
et la base
deviendrait le diamètre du cercle circonscrit au polygone.