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Présentement, comme chaque élément du fil, $\operatorname {d} s={\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}},$ est supposé inextensible, on a, comme dans l’Article XXV, l’équation

$\operatorname {d} x{\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}+\operatorname {d} y{\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}+\operatorname {d} z{\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}=0.$

On a de plus, par la même raison,

$\delta {\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}}=0,$

ce qui donne

$\operatorname {d} x\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} z=0,$

savoir, en transposant les deux caractéristiques $\delta ,\operatorname {d} ,$

$\operatorname {d} x\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z=0\,;$

d’où l’on tire

$\operatorname {d} \delta x=-{\frac {\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} x}},$

et, en intégrant,

$S\operatorname {d} \delta x=\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-S{\frac {\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} x}}\,;$

$\delta {\grave {\,}}\!x$ dénote la valeur de $\delta x$ lorsque l’intégrale marquée par $\mathrm {S}$ est zéro, savoir la valeur du $\delta x$ à la première extrémité du fil. La substitution de cette valeur de $\delta x$ dans l’équation (L) changera l’expression intégrale

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x$

en celle-ci

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} dm\left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right].$

Or la différence $\delta \,{\grave {\,}}\!x,$ étant constante, peut être dégagée du signe d’intégration ; donc si $\mathrm {T} dt$ exprime la valeur totale de l’intégrale

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

l’expression $\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x$ se réduira à celle-ci plus simple, $Tdt\delta \,{\grave {\,}}\!x.$ Il s’agit maintenant de faire disparaître les différences de $\delta y$ et