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Ce sont les équations qui serviront à déterminer le mouvement du corps $\mathrm {M} '.$

Si ce corps était contraint de se mouvoir sur une surface donnée par l’équation

$dz'=m'dx'+n'dy',$

on mettrait, comme à l’ordinaire, $m'\delta x'+n'\delta y'$ au lieu de $\delta z',$ et l’on en tirerait les équations

${\begin{aligned}&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)-kdt+\left[\mathrm {M} '\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right]m'=0,\\&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}kdt+\left[\mathrm {M} '\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right]n'=0.\end{aligned}}$

À l’égard des termes

$\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt,$

qui appartiennent au premier point du fil, ils fourniront les mêmes conditions que dans l’Article précédent, selon les différentes circonstances du mouvement de ce point. Mais si l’on imaginait de plus en ce point un autre corps ${\grave {\,}}\!\mathrm {M}$ animé des puissances $\mathrm {{\grave {\,}}\!P,{\grave {\,}}\!Q,{\grave {\,}}\!R} ,\ldots ,$ en sorte que le fil fût emporté par deux corps $\mathrm {{\grave {\,}}\!M,M'}$ fixement attachés à ses extrémités, alors on aurait, pour la formule du maximum ou du minimum,

$\mathrm {S} dm\int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} \int {\grave {\,}}\!ud{\grave {\,}}\!s,$

et l’on trouverait, en faisant le calcul de la même manière que ci-dessus, que le premier membre de l’équation (P) serait augmenté des termes

$-\mathrm {M} \int \left[\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!z\right],$

ce qui ne changerait rien aux formules trouvées pour le mouvement du