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fil et de l’autre corps $\mathrm {M} \,;$ mais on aurait de plus l’équation

${\begin{aligned}&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!x\\&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!y\\&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!z=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirerait pour le mouvement du corps ${\grave {\,}}\!\mathrm {M} ,$ des formules analogues à celles qu’on a trouvées pour le corps $\mathrm {M} '.$

XXXIII.

Problème VII. — Résoudre le Problème précédent, en supposant que le fil soit extensible et élastique.

Solution. — Soit $\mathrm {F}$ le ressort, c’est-à-dire la force de contraction de chaque élément du fil, on aura, en général, par l’équation (U) de l’Article VIII

$\mathrm {S} dm\,u\,\delta u=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )-\mathrm {SF} \delta f\,;$

ce qui donne, en multipliant par $dt,$ et mettant $\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z$ au lieu de $\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ,$ et $ds$ au lieu de $f,$

(Y)

$\mathrm {S} dm\,u\,\delta u=-\mathrm {S} dm\left(\Pi dt\delta x+\varpi dt\delta y+\Psi dt\delta z\right)-\mathrm {SF} dt\delta ds$

Or

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+}}.$

donc

$\delta ds={\frac {\operatorname {d} x\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}={\frac {\operatorname {d} x\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} s}},$

donc, mettant cette valeur dans $\mathrm {SF} dt\delta \operatorname {d} s,$ et intégrant par parties avec les constantes nécessaires, on aura

$\mathrm {SF} dt\delta \operatorname {d} s={\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right)-{\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right)$

$-\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\delta x+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\delta z\right)dt.$