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de la rotation du corps ; par conséquent,

$\mathrm {S} pr\,dm=\mathrm {B} \cos(a+\mathrm {P} )\,;$

donc, si l’on substitue ces valeurs dans les trois équations ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {\mathrm {A} } d{\frac {d\mathrm {\mathrm {P} } }{dt}}+\mathrm {\mathrm {S} } \varpi rdm\,dt-\mathrm {\mathrm {S} } \Psi qdm\,dt=0,\\&\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {B} \cos(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi pdm\,dt=0,\\-&\mathrm {B} \cos(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi qdm\,dt-\mathrm {S} \varpi pdm\,dt=0.\end{aligned}}$

La première de ces équations étant multipliée par ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},$ et ensuite intégrée, donne

${\frac {\mathrm {A} d\mathrm {P} ^{2}}{2dt^{2}}}+\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {A} c^{2}}{2}},$

$c$ étant la valeur de ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}$ lorsque $\mathrm {P} =0,$ c’est-à-dire la vitesse primitive de rotation ; donc, substituant dans la seconde et dans la troisième équation, au lieu de $d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}$ et de $d{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}},$ leurs valeurs, on aura, après avoir divisé par $dt,$

${\begin{aligned}-\mathrm {\frac {B}{A}} &\sin(\alpha +\mathrm {P} )(\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)\\&-\mathrm {\frac {2B}{A}} \cos(\alpha +\mathrm {P} )\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} \\&\qquad +\mathrm {B} c^{2}\cos(\alpha +\mathrm {P} )+\mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm)=0,\\\\\mathrm {\frac {B}{A}} &\cos(\alpha +\mathrm {P} )(\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)\\&-\mathrm {\frac {2B}{A}} \sin(\alpha +\mathrm {P} )\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} \\&\qquad +\mathrm {B} c^{2}\sin(\alpha +\mathrm {P} )+\mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm)=0,\end{aligned}}$

et ces équations renfermeront les conditions nécessaires pour que le corps tourne librement autour d’un axe immobile.