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vient de trouver, l’expression intégrale

$\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x$

se changera en celle-ci :

${\begin{aligned}&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x\\-&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]\end{aligned}}$

J’écris d’abord le premier membre transformé ainsi :

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x,$

expression qu’on voit bien être équivalente à la proposée. Or, soit la valeur totale de

$\mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$

exprimée par $\mathrm {T} dt,$ il est clair qu’on aura, à cause que $\delta {\grave {\,}}\!x$ est constant par rapport à $x,$

$\mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x=\delta {\grave {\,}}\!x\mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)=\delta {\grave {\,}}\!x\mathrm {T} dt\,;$

donc

$\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x=\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x.$

Je mets de même le second membre sous la forme suivante :

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]\,;$

j’opère sur l’intégrale

$\mathrm {S} \operatorname {d} x\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]$

suivant la méthode de l’Article IX Mémoire précédent : j’aurai, en sup-