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serviront à déterminer les mouvements du fluide dans plusieurs cas particuliers.

Ces cas se réduisent à ceux où l’on suppose que les particules du fluide décrivent des courbes invariables, ce qui arrive quand les rapports des vitesses $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont indépendants du temps $t,$ c’est-à-dire quand les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont simplement des fonctions de $x,y,z$ multipliées par une même fonction de $t.$ Car, soit mis dans les équations générales $(h)$ $\theta \alpha ,\theta \beta ,\theta \gamma$ à la place de $\alpha ,\beta ,\gamma$ ( $\theta$ étant une fonction quelconque de $t,$ et $\alpha ,\beta ,\gamma$ étant maintenant regardées comme des fonctions indéterminées de $x,y,z$ sans $t$), on trouvera, après avoir divisé par $\theta ^{2},$

${\begin{aligned}{\frac {\mu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+\alpha {\frac {d\mu }{dx}}+\beta {\frac {d\mu }{dy}}+\gamma {\frac {d\mu }{dz}}+\mu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}}=&0,\\{\frac {\nu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+\alpha {\frac {d\nu }{dx}}+\beta {\frac {d\nu }{dy}}+\gamma {\frac {d\nu }{dz}}+\nu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}=&0.\end{aligned}}$

Or, comme les termes ${\frac {\mu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}},\ {\frac {\nu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}$ sont les seuls qui renferment $t,$ il faut nécessairement qu’ils soient égaux à zéro séparément de tous les autres, pour que les équations soient possibles ; on aura donc $\mu =0,\ \nu =0,$ ce qui satisfait encore au reste de l’une et de l’autre équation, comme on l’a vu plus haut.

Il y a pourtant un cas où les équations précédentes peuvent être vérifiées sans supposer $\mu =0$ et $\nu =0\,;$ c’est celui où l’on aura

${\frac {1}{\theta ^{2}A}}{\frac {d\theta }{dt}}=\mathrm {const} .,$

c’est-à-dire où

${\frac {1}{\theta }}=a-bt\quad {\text{et}}\quad \theta ={\frac {1}{a-bt}},$

$a$ et $b$ étant deux constantes quelconques ; car alors les termes ${\frac {\mu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}},$${\frac {\nu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}$ se trouveront entièrement indépendants du temps $t,$ ainsi que tous les autres.

Au reste, en combinant les équations $\mu =0,$ $\nu =0$ avec l’équation $(i),$

.