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et

{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}=-\mathrm {D} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\pi dt\right),\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}=-\mathrm {D} \left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\,;

donc

{\begin{aligned}\operatorname {d} \mathrm {U} '=-{\frac {\mathrm {D} '}{dt}}\left[\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)\operatorname {d} x'+\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)\operatorname {d} y'\right.\quad &\\\left.+\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)\operatorname {d} z'\right]&=0.\end{aligned}}

Donc, en général, quand le fluide est libre de tous côtés, sa surface extérieure doit être déterminée par l’équation

\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\operatorname {d} x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\operatorname {d} y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\operatorname {d} z=0.

Supposons maintenant que le fluide soit soutenu par des parois fixes de figure quelconque, et dont l’équation soit

\operatorname {d} z=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y.

Si l’on considère les trois expressions intégrales de l’équation $(f),$ on voit qu’elles renferment chacune deux intégrations qui se rapportent à $y$ et $z$ dans la première, à $x$ et $z$ dans la seconde, à $x$ et $y$ dans la troisième. Or, puisque la relation des trois variables $x,y,z$ est donnée par l’équation $\operatorname {d} z=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y,$ ces différentes intégrales pourront être ramenées toutes à la même forme, c’est-à-dire être rapportées à deux seules changeantes $x$ et $y\,;$ il n’y aura pour cela qu’à mettre dans la première, au lieu de $\operatorname {d} z,$ sa valeur en $x,$ $m\operatorname {d} x,$ et dans la seconde sa valeur en $y,$ $n\operatorname {d} y\,;$ par là l’équation $(f)$ deviendra celle-ci