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l’on suppose qu’il n’y ait point de parois qui soutiennent le fluide, les valeurs de $\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z$ demeureront absolument arbitraires, et l’équation $(f)$ ne pourra se vérifier qu’en faisant généralement $\mathrm {T} =0,$ savoir la valeur totale de l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$ nulle.

Soient rapportées les équations $(e)$ à la surface postérieure du fluide, en y mettant ${\grave {\,}}\!x,{\grave {\,}}\!y,{\grave {\,}}\!z$ au lieu de $x,y,z,$ et supposant l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$ nulle, ce qui rend $\mathrm {U=T} ,$ on aura

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {T} dt)}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}}={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right),\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {T} dt)}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}}={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\,;$

donc

$\operatorname {d} \mathrm {T} ={\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z$

$={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\right].$

C’est la valeur de la différentielle de $\mathrm {T}$ prise dans la surface dont nous parlons ; donc, puisque la quantité $\mathrm {T}$ y doit être généralement égale à zéro, sa différentielle le sera aussi, et l’on aura par conséquent l’équation

$\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,$

qui sera celle que la surface postérieure du fluide doit avoir.

On trouvera une équation semblable pour la surface antérieure du fluide ; car nommant $x',y',z'$ les coordonnées pour cette surface, et $\mathrm {U} '$ ce que devient $\mathrm {U}$ quand $x,y,z$ deviennent $x',y',z',$ on aura en général, comme on l’a déjà remarqué, Article XL, $\mathrm {U} '=0\,;$ donc aussi

$\operatorname {d} \mathrm {U} '={\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} x'}}\operatorname {d} x'+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} y'}}\operatorname {d} y'+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} z'}}\operatorname {d} z'=0.$

Or

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x=-\mathrm {D} \operatorname {d} x\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$