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Or les équations ci-dessus se réduisent à

$\mathrm {L} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dz}},$

donc, comparant ces équations avec celle qu’on vient de trouver, on aura

${\frac {d\mathrm {L} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {M} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dy}},\qquad {\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dz}},$

équations où la lettre $\mathrm {D}$ ne se trouve plus. On trouvera encore, en combinant ensemble les équations ci-devant,

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}={\frac {d\mathrm {M} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}={\frac {d\mathrm {N} }{dx}},$

deux équations qui reviennent au même que les équations $(k)$ de l’Article XLII. On aura donc cinq équations toutes délivrées de la lettre $\mathrm {D} ,$ dont trois prises à volonté suffiront pour résoudre le Problème.

Si l’on suppose que le mouvement du fluide soit parvenu à un état permanent, alors on aura ${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}=0,$ et par conséquent $\mathrm {T} =0.$

LI.

Corollaire III — On peut encore représenter le mouvement du fluide par les variables $\mathrm {X,Y,Z} ,t,$ comme dans l’Article XLIV. Pour cela on cherchera d’abord la valeur de $\mathrm {D}$ au moyen de l’équation $(s),$ laquelle, en introduisant les lettres $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ devient celle-ci :

${\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.$

Or, par les formules de l’Article cité, on trouve

${\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}={\frac {\cfrac {d\mathrm {K} }{dt}}{\mathrm {K} }}\,;$