par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\cfrac {d\mathrm {K} }{dt}}{\mathrm {K} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3435279f9e892345419233ce32f9ad5338d3bff4)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \log \mathrm {D} +\log \mathrm {K} =\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c6689ec21618dd859d1608f8a127dbf698045b)
savoir :
![{\displaystyle \mathrm {DK} =h\quad {\text{et}}\quad \mathrm {D} ={\frac {h}{\mathrm {K} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea14b75e0f998a68d934138c0f94d3e8a333e39)
Pour déterminer la constante
on remarquera qu’au commencement du mouvement
![{\displaystyle dx=d\mathrm {X} ,\qquad dy=d\mathrm {Y} ,\qquad dz=d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8805c2c158e3a81b1d344b7a7d25971f213a5c)
donc
![{\displaystyle \mathrm {L=1,\ M=0,\ N=0,\ P=0,\ Q=1,\ R=0,\ S=0,\ T=0,\ U=1} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a47f7b5d3412ac4444f91a010c278fda3fde0c6)
ce qui donne
; d’où il s’ensuit que
doit être égale à la densité
que le fluide a au premier instant de son mouvement.
Ayant trouvé l’expression de
il n’y aura plus qu’à la substituer dans les équations
or,
étant une fonction de
sa différentielle, en prenant
constant, sera représentée par
![{\displaystyle \mathrm {E} d\mathrm {X+Y} d\mathrm {Y+G} d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059371478f95dbf0cd267d16554aef43c872a104)
ainsi, pour avoir les valeurs de
il faudra encore substituer au lieu de
leurs expressions en
trouvées dans l’Article XLIV ce qui, en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {E(QU-RT)\,+F(RS-PU)+G(PT-QS)\ =A} ,\\&\mathrm {E(NT-MU)+F(LU-NS)+G(MS-LT)\ =B} ,\\&\mathrm {E(MR-NQ)+F(NP-LR)+G(LQ-MP)=C} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea23b3c2f9708547f47a62b06625e863bb48c679)
donnera
![{\displaystyle d\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {A} \operatorname {d} x+\mathrm {B} \operatorname {d} y+\mathrm {C} \operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c35cd18db9442495e58d1ad4e4f931e11604ba)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}=\mathrm {\frac {A}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}}=\mathrm {\frac {B}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}=\mathrm {\frac {C}{K}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1592cfc9bc3689a3768ba76331dcdf46654a6b8)