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et la valeur de $y$ deviendra

$y={\frac {\mathrm {R} \int \mathrm {TS} dt-\mathrm {S} \int \mathrm {TR} dt}{\left(\mathrm {S} {\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}-\mathrm {R} {\cfrac {d\mathrm {S} }{dt}}\right)}}.$

13. Si $m-1,$ on aura $n=\infty ,$ et la valeur de $x$e sera exprimée par une suite infinie ; mais, en reprenant l’équation (G), on aura

${\frac {az}{t^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0,$

laquelle, en faisant $z=t^{r},$ se change en

$a+r(r-1)=0,$

d’où l’on tire

$r={\frac {1}{2}}A\mp {\sqrt {{\frac {1}{4}}-a}}.$

Ainsi l’on aura les deux valeurs de $z.$

14. Soient $\mathrm {T} =0$ et $y=e^{\int qdt},$ l’équation proposée se changera en celle-ci :

${\frac {dq}{dt}}+q+at^{2m}=0,$

laquelle est connue sous le nom d’équation de Riccati ; on trouvera donc par la méthode précédente l’intégrale de cette même équation.

Intégration de l’équation

(H)

$\mathrm {A} y+\mathrm {B} (h+kt){\frac {dy}{dt}}+\mathrm {C} (h+kt)^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {D} (h+kt)^{3}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots =\mathrm {T} .$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des coefficients constants.

15. En comparant cette équation avec la formule générale (A), on aura

$\mathrm {L=A} ,\quad \mathrm {M=B} (h+kt),\quad \mathrm {N=C} (h+kt)^{2},\quad \mathrm {P=D} (h+kt)^{3},\ldots .$