Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/563

Ainsi, substituant au lieu de $r+1$ sa valeur ${\frac {\mu \pi }{2u}},$ et mettant successivement au lieu de $\mu$ tous les nombres entiers positifs et négatifs, on aura tous les termes qui doivent entrer dans la valeur de $y.$

Il y a cependant un cas à excepter ; c’est celui où $\mu =0,$ et par conséquent $r=-1\,;$ dans ce cas on aura

$\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt={\frac {\mathrm {H} }{k}}\log(h+kt)+\mathrm {const} .,$

et par conséquent

$-k{\frac {\theta }{\mathrm {Q} }}=s{\frac {\mathrm {H} }{2u{\sqrt {-1}}}}\log(h+kt)+\mathrm {const} .$

Donc, faisant, pour abréger,

$(\cos u)^{\frac {\pi }{2u}}=p,\qquad (h+kt)^{\frac {\pi }{2u}}=z,$

et prenant des constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,a,b,c,\ldots$ on aura pour l’équation

${\begin{aligned}&\Phi \left[t+(h+kt){\sqrt {-1}}\right]+\Phi \left[t-(h+kt){\sqrt {-1}}\right]=\mathrm {H} ,\\\\&\Phi (t)=\mathrm {A} z+az^{-1}+\mathrm {B} z^{3}+bz^{-3}+\ldots \end{aligned}}$

$+{\frac {\mathrm {H} }{\pi }}\left(p+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{3}}p^{3}-{\frac {1}{3p^{3}}}+{\frac {1}{5}}p^{5}+{\frac {1}{5p^{5}}}-\ldots \right),$

et pour l’équation

$\Phi \left[t+(h+kt){\sqrt {-1}}\right]-\Phi \left[t-(h+kt){\sqrt {-1}}\right]=\mathrm {H} ,$

$\Phi (t)={\frac {\mathrm {H} }{2u{\sqrt {-1}}}}\log(h+kt)+\mathrm {A} z^{2}+az^{-2}+\mathrm {B} z^{4}+bz^{-4}+\ldots +\mathrm {const} .$

Or

${\begin{aligned}p-{\frac {1}{3}}p^{3}-{\frac {1}{5}}p^{5}-\ldots =&\operatorname {arc} \operatorname {tang} p,\\{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{3p^{3}}}+{\frac {1}{5p^{5}}}-\ldots =&\operatorname {arc} \cot p\,;\end{aligned}}$

donc la somme de ces deux séries sera égale à ${\frac {\pi }{2}}\,;$ par conséquent on aura