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pour la première équation

$\Phi (t)=\mathrm {A} z+az^{-1}+\mathrm {B} z^{3}+bz^{-3}+\ldots +{\frac {\mathrm {H} }{2}}.$

Connaissant ainsi la nature de la fonction $\Phi ,$ on trouvera par la différentiation la fonction $\varphi ,$ et par conséquent les expressions des vitesses $p$ et $q,$ et l’on déterminera ensuite les constantes arbitraires $\mathrm {A} ,a,\mathrm {B} ,b,\ldots ,$ par les valeurs connues et données de $p$ et $q,$ lorsque $t=0.$

21. Si $k=0,$ de manière que le fluide se meuve dans un canal rectiligne et dont la largeur soit partout égale à $2h,$ on supposera $k$ intiniment petite, et l’on aura d’abord $u=k\,;$ faisant ensuite $k=\alpha h,$ $\alpha$ étant une quantité évanouissante, on aura

$(h+kt)^{\frac {\pi }{2u}}=h^{\frac {\pi }{2u}}(1+\alpha t)^{\frac {\pi }{2\alpha h}}=h^{\frac {\pi }{2k}}e^{\frac {\pi t}{2h}}$

et

$\log(h+kt)=\log \left[h(1+\alpha t)\right]=\log h+\alpha t\,;$

par conséquent

${\frac {\mathrm {H} }{2u{\sqrt {-1}}}}\log(h+kt)={\frac {\mathrm {H} \log h}{2k{\sqrt {-1}}^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} \log t}{2h{\sqrt {-1}}^{2}}}.$

Donc, si l’on fait $z=e^{\frac {\pi t}{2h}},$ on aura pour $\Phi (t)$ les mêmes expressions que dans le numéro précédent, excepté qu’au lieu de ${\frac {\mathrm {H} }{2u{\sqrt {-1}}}}\log(h+kt),$ il faudra mettre ${\frac {\mathrm {H} \log t}{2h{\sqrt {-1}}}}.$

22. Si l’on ne voulait pas que le vase eût deux parties égales et semblables, alors nommant $x$ les ordonnées qui répondent à l’une des parois, et $x'$ celles qui répondent à l’autre, on aura les deux équations

${\begin{aligned}\Phi \left(t+x\ {\sqrt {-1}}\right)-\Psi \left(t-x\ {\sqrt {-1}}\right)=&\mathrm {M} ,\\\Phi \left(t+x'{\sqrt {-1}}\right)-\Psi \left(t-x'{\sqrt {-1}}\right)=&\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

par le moyen desquelles on déterminera les fonctions $\Phi$ et $\Psi .$