Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/567

Pour cet effet, je prends la quantité

${\frac {\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)}{2}},$

laquelle étant réduite en série devient

$\varphi (t)-{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''(t)+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\mathrm {iv} }(t)-{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}\varphi ^{\mathrm {vi} }(t)+\ldots .$

Je prends de plus la quantité

${\frac {\varphi (t+x)+\varphi (t-x)}{2}},$

laquelle se change de même en celle-ci :

$\varphi (t)+{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''(t)+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\mathrm {iv} }(t)+{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}\varphi ^{\mathrm {vi} }(t)+\ldots .$

J’appelle la première de ces deux quantités $y,$ et la seconde $y\,;$ ensuite je suppose que $\mathrm {Y,Y',Y'',Y'''} ,\ldots$ soient les valeurs de $y,$ lorsque, au lieu de $x,$ on y met $0,x,2x,3x,\ldots ,$ et prenant des coefficients arbitraires $\alpha ,\alpha ',\alpha '',$$\alpha ''',\ldots ,$ j’aurai

${\begin{aligned}y&-\alpha \mathrm {Y-\alpha 'Y'-\alpha ''Y''-\alpha '''Y'''} -\ldots \\&=(1-\alpha -\alpha '-\alpha ''-\alpha '''-\ldots )\varphi (t)\\&-\left(1+\alpha '+2^{2}\alpha ''+3^{2}\alpha '''+\ldots \right){\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''(t)\\&+\left(1-\alpha '-2^{4}\alpha ''-3^{4}\alpha '''-\ldots \right){\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\mathrm {iv} }(t)\\&-\left(1+\alpha '+2^{6}\alpha ''+3^{6}\alpha '''+\ldots \right){\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}\varphi ^{\mathrm {vi} }(t)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Soient

(T)

$\left\{{\begin{aligned}&1-\alpha -\alpha '-\alpha ''-\alpha '''-\ldots =0,\\&1+\alpha '+2^{2}\alpha ''+3^{2}\alpha '''+\ldots =0,\\&1-\alpha '-2^{4}\alpha ''-3^{4}\alpha '''-\ldots =0,\\&1+\alpha '+2^{6}\alpha ''+3^{6}\alpha '''+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$