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on aura

$y=\alpha \mathrm {Y+\alpha 'Y'+\alpha ''Y''+\alpha '''Y'''} +\ldots$

Tout se réduira donc à tirer les valeurs de $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots$ des équations (T). Pour y parvenir, je multiplie la seconde par $\beta ',$ la troisième par $\beta '',$ la quatrième par $\beta ''',\ldots \,;$ $\beta ',\beta '',\beta ''',\ldots$ étant des coefficients indéterminés ; après quoi je les ajoute toutes ensemble, ce qui me donne

${\begin{aligned}&\ 1+\beta '+\beta ''+\beta '''+\ldots -\alpha \\-&(1-\beta '+\beta ''-\beta '''+\ldots )\alpha '\\-&\left(1-2^{2}\beta '+2^{4}\beta ''-2^{6}\beta '''+\ldots \right)\alpha ''\\-&\left(1-3^{2}\beta '+3^{4}\beta ''-3^{6}\beta '''+\ldots \right)\alpha '''\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}$

À présent, pour avoir la valeur d’une $\alpha$ quelconque, comme $\alpha ^{(m)},$ je fais égal à zéro chacun des coefficients des autres $\alpha \,;$ de cette manière j’ai d’abord

$\alpha ^{(m)}={\frac {1+\beta '+\beta ''+\beta '''+\ldots -\alpha }{1-m^{2}\beta '+m^{4}\beta ''-m^{6}\beta '''+\ldots }},$

et ensuite les équations de condition

${\begin{aligned}&1-\beta '+\beta ''-\beta '''+\ldots =0,\\&1-2^{2}\beta '+2^{4}\beta ''-2^{6}\beta '''+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire l’équation

$1-\beta 'u^{2}+\beta ''u^{4}-\beta '''u^{6}+\ldots =0,$

laquelle doit avoir lieu en mettant au lieu de $u$ tous les nombres entiers $1,2,3,\ldots$ à l’infini, excepté $m.$ Donc, si l’on multiplie cette équation par $1-{\frac {u^{2}}{m^{2}}},$ et qu’on suppose $u={\frac {z}{\pi }},$ on aura

$1-{\frac {\beta '+{\cfrac {1}{m^{2}}}}{\pi ^{2}}}z^{2}+{\frac {\beta ''+{\cfrac {\beta '}{m^{2}}}}{\pi ^{4}}}z^{4}+{\frac {\beta '''+{\cfrac {\beta ''}{m^{2}}}}{\pi ^{6}}}z^{6}+\ldots =0,$