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ce qui donnera, à cause de l’ambiguïté du radical $\mathrm {\sqrt {{\frac {4M^{2}}{9}}-2K^{2}}} ,$ deux branches paraboliques éloignées à l’infini de l’axe, et ainsi de suite.

De là il est aisé de conclure que la valeur de $y$ ne peut jamais passer du fini à l’infini. Donc, puisque $t$ peut devenir infinie, ce qui est évident par la nature même de l’équation (A), il s’ensuit que la valeur de $y$ en $t$ ne doit point contenir de termes qui croissent avec $t\,;$ donc ; etc.

45. Voyons donc comment on pourrait faire disparaître de l’expression de $y$ les termes qui contiendraient des puissances de $t,$ et qui rendraient cette expression très-fautive.

Qu’on suppose, dans l’équation (A),

$y=y'+\lambda +i\mu +i^{2}\nu +\ldots ,$

$\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ étant des constantes indéterminées et $y'$ une nouvelle variable, et négligeant les termes qui seraient affectés de $i^{3},\ldots ,$ on aura une équation de cette forme :

(C)

${\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {R} ^{2}y'+\mathrm {A} +i\left(\mathrm {B+M} y'^{2}\right)+i^{2}\left(\mathrm {C+3N} \lambda y'^{2}+\mathrm {N} y'^{3}\right)+\ldots =0,$

dans laquelle

$\mathrm {R^{2}=K^{2}} +2i\mathrm {M} \lambda +i^{2}\mathrm {\left(2M\mu +3N\lambda ^{2}\right)} ,$

$\mathrm {A=L+K^{2}\lambda ,\quad B=K^{2}\mu +M\lambda ^{2},\quad C=K^{2}\nu +2M\mu \lambda +N\lambda ^{3}} ,$

ce qui donnera pour première équation approchée

${\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {R} ^{2}y'+\mathrm {A} =0\,;$

d’où on aura, en supposant $y'=f'$ et ${\frac {dy'}{dt}}=0,$ lorsque $t=0,$

$y'=f'\cos \mathrm {R} t;+\mathrm {\frac {A}{R^{2}}} (\cos \mathrm {R} t-1).$

Substituant ensuite cette première valeur de $y'$ dans le terme $i\mathrm {M} y'^{2}$