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La première étant intégrée donne ${\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}$ égale à une constante ; mais lorsque $t=0,$ on a

$r=a\quad {\text{et}}\quad {\frac {rd\varphi }{dt}}=c\sin b\,;$

donc

${\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}=ac\sin b\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {ac\sin b}{r^{2}}}\,;$

substituant donc cette valeur dans l’autre équation, on aura, pour les équations générales du mouvement du corps,

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {a^{2}c^{2}\sin ^{2}b}{r^{3}}}+\Delta r=0,\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {ac\sin b}{r^{2}}}=0.$

Maintenant, puisqu’on suppose que l’orbite diffère peu d’un cercle, il est clair que $r$ doit être presque égal à $a,$ et que par conséquent on peut faire $r=a+2y,$ $i$ étant un coefficient très-petit, et $y$ une nouvelle variable ; ce qui donnera

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=1{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\qquad {\frac {1}{r^{3}}}={\frac {1}{(a+2y)^{3}}}={\frac {1}{a^{3}}}-3i{\frac {y}{a^{4}}}+6i^{2}{\frac {y^{2}}{a^{5}}}-10i^{3}{\frac {y^{3}}{a^{6}}}+\ldots ,$

$\Delta r=\Delta (a+2y)=\Delta a+i\Delta 'ay+i^{2}{\frac {\Delta ''a}{2}}y^{2}+i^{3}{\frac {\Delta '''a}{2.3}}y^{3}+\ldots ,$

en supposant

${\frac {d.\Delta r}{dr}}=\Delta 'r,\qquad {\frac {d.\Delta 'r}{dr}}=\Delta ''r,\ldots \,;$

donc la première équation deviendra

${\begin{aligned}i{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-&{\frac {c^{2}\sin ^{2}b}{a}}\left(1-3i{\frac {y}{a}}+6i^{2}{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-10i^{3}{\frac {y^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right)\\&+\Delta a+i\Delta 'ay+i^{2}{\frac {\Delta ''a}{2}}y^{2}+i^{3}{\frac {\Delta '''a}{2.3}}y^{3}+\ldots =0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit que $\Delta a-{\frac {c^{2}\sin ^{2}b}{a}}$ doit être nécessairement une quantité