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Ayant ainsi les valeurs de tous les coefficients, on achèvera le calcul comme on a fait dans le numéro précédent, et l’on aura, à l’aide des deux valeurs de $\rho ^{2},$ deux équations finales qui serviront à trouver $y$ et $y'.$

Il y a cependant un cas qui demande une discussion particulière ; c’est celui où le coefficient $\mathrm {H}$ serait presque égal à $\mathrm {K-K'} ,$ la différence n’étant que de l’ordre de $i\,;$ nous allons l’examiner dans les numéros suivants.

Analyse du cas où $\mathrm {H}$ est presque égal à $\mathrm {K-K'} .$

60. Soient

$\mathrm {K} =h+ik,\quad \mathrm {K} '=h'+ik'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {H} =h-h',$

en sorte que

$\mathrm {H=K-K'} +i(k-k').$

Je fais

$\rho {\sqrt {-1}}=h+im,$

c’est-à-dire

$\rho =-(h+im){\sqrt {-1}},$

ce qui me donne

$\rho ^{2}+\mathrm {K} ^{2}=-2ih(m-k)-2i^{2}\left(m^{2}-k^{2}\right),$

et les équations (Y) et (Z) du numéro précédent se changeront en celles-ci :

${\begin{aligned}(a)&\qquad 2h(m-k)+i\left(m^{2}-k^{2}\right)={\frac {1}{\lambda }}\left[{\frac {\mathrm {M} '}{2}}\mu '-{\frac {\mathrm {N} '(h+im)}{2}}{\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}\right],\\(b)&\qquad \quad \mu '\pm {\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}=-i{\frac {\mathrm {M-N} \left[h-h'\pm (h+im)\right]}{(h'+ik')^{2}-\left[h-h'\pm (h+im)\right]^{2}}}\lambda ,\\(c)&\ \ \nu \pm {\mathfrak {N}}{\sqrt {-1}}=-{\frac {i}{2}}{\frac {\mathrm {M'+N'} \left[2h-2h'\pm (h+im)\right]}{2(h+ik)^{2}-\left[2h-2h'\pm (h+im)\right]^{2}}}\left(\mu '\pm {\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

d’où l’on tirera les valeurs de $m,\mu ',{\mathfrak {M}}',\nu$ et ${\mathfrak {N}}.$

L’équation $(b)$ étant prise en $-$ donnera

$\mu '-{\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}=-i{\frac {\mathrm {M+N} (h'+im)}{(h'+ik')^{2}-(h'+im)^{2}}}\lambda .$