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qui seront telles que

${\begin{alignedat}{2}m\ \ &=q,&n\,\ \ &=1,\\\mathrm {M} \ \ &=q'\ m\ \ +1,&\mathrm {N} \ \ &=q'n,\\m'\ &=q''\mathrm {M} \ \ +m,&n'\,\ &=q''\mathrm {N} \ \ +n,\\\mathrm {M} '\ &=q'''m'+\mathrm {M} ,&\mathrm {N} '\ &=q'''n\ \ +\mathrm {N} ,\\m''&=q^{\mathrm {iv} }\mathrm {M} '+m',&n''\,&=q^{\mathrm {iv} }\mathrm {N} '+n',\\\mathrm {M} ''&=q^{\mathrm {v} }m''+\mathrm {M} ',\qquad &\mathrm {N} ''&=q^{\mathrm {v} }n''\ +\mathrm {N} ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Ces sortes de fractions ont plusieurs propriétés qui sont connues depuis longtemps des Géomètres, mais que nous croyons devoir rappeler ici en peu de mots, parce que nous en ferons un grand usage dans la suite.

1^o Les numérateurs

$1,m,\mathrm {M} ,m',\mathrm {M} ',\ldots ,$

forment une série qui va continuellement en augmentant ; et il en est de même des dénominateurs

$0,n,\mathrm {N} ,n',\mathrm {N} ',\ldots ,$

2^o Les fractions

${\frac {m}{n}},{\frac {m'}{n'}},{\frac {m''}{n''}},\ldots ,$

sont toutes plus petites que la valeur de la fraction continue d’où elles résultent, valeur qui dans notre cas est ${\sqrt {a}},$ mais elles s’en approchent toujours de plus en plus. Au contraire, les fractions

${\frac {1}{0}},\mathrm {{\frac {M}{N}},{\frac {M'}{N'}},{\frac {M''}{N''}}} ,\ldots ,$

sont toutes plus grandes que la même valeur, vers laquelle elles sont aussi constamment convergentes. Et chacune de ces fractions en particulier, soit qu’elle soit plus grande ou plus petite que ${\sqrt {a}},$ approche davantage de cette quantité que ne fait aucune des fractions précédentes, ni que pourrait faire aucune fraction quelconque dont le dénominateur serait plus petit.

3^o Si l’on multiplie en croix toutes les fractions voisines, et qu’on