nombre fini de nombres entiers positifs, et moindre qu’un nombre donné, il faudra nécessairement qu’une infinité de ces nombres
soient égaux entre eux.
Ainsi l’on aura par ce moyen une infinité de nombres différents à substituer au lieu de
et de
dans la formule
de manière qu’elle ait toujours une même valeur positive, et moindre que
Si au lieu de substituer à la place de
et de
les nombres
et
on y substituait les nombres
et
et qu’on nommât
les valeurs résultantes de
on aurait
![{\displaystyle z=m^{2}-an^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d22dfa430a917a73b4946aac8f3575c6ff29b1)
ou, en mettant
à la place de ![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
![{\displaystyle z=-2m\delta -\delta ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc123f74cae021345ad9d90480f0c07adc7c9a7e)
d’où l’on voit que
sera négatif, et qu’à cause de
on aura
![{\displaystyle -z<{\frac {2m}{n}}+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49968d4cb51492099972faae37210f21615ec0ea)
On trouvera de même
![{\displaystyle z'=-2m'\delta '-\delta '^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09adeab5242268f6d0808dd9cd3f3bb965c214e5)
et par conséquent
![{\displaystyle z<0\quad {\text{et}}\quad -z'<{\frac {2m'}{n'}}+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0010a6adc1212f254d094a9277b707b2278642c)
et ainsi de suite à l’infini.
D’où l’on conclura, comme ci-dessus, qu’il y a nécessairement une infinité de ces nombres
et
qui, étant substitués à la place de
et de
dans la formule
la rendront égale à un même nombre entier négatif, et compris entre zéro et
4. Nous dénoterons en général par
et par
tous les nombres qui étant substitués dans la formule
la rendent égale à un même nombre quelconque entier positif ou négatif,