Or : 1o soit
un nombre premier quelconque ; il faudra, en vertu de l’équation (B), que
ou
soit divisible par
soit donc
![{\displaystyle xy'\pm yx'=q\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2927ec2536c4be72891bd7e9f7e62f25bd3851)
et l’équation (A) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {R} ^{2}=(xx'\pm ayy')^{2}-aq^{2}\mathrm {B} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac403f07af3e191117df934f21cf973fd0221e12)
d’où l’on voit que
est divisible par
et que par conséquent
est divisible par
donc faisant
et divisant ensuite toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle 1=p^{2}-aq^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00afcaad84079e583f75ee8f87aa64dd4726f077)
7. 2o Soit
et
étant des nombres premiers, il faudra, en vertu de l’équation (B), que
ou
soit divisible par
ou bien que l’une de ces deux quantités soit divisible par
et l’autre par
Le premier cas rentre évidemment dans celui du numéro précédent, et donne par conséquent le même résultat.
Dans le second cas on aura
![{\displaystyle xy'\pm yx'=q\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb754061fabe119623772274f60f744d4738d5e6)
n’étant point divisible par
et l’équation (A) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A^{2}B^{2}} =(xx'\pm ayy')^{2}-aq^{2}\mathrm {B} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee18f04ea359da880c1f656e43003b9b31484af)
de sorte que
sera aussi divisible par
donc faisant
![{\displaystyle xx'\pm ayy'=p\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6062fcaff5f222c3e307ec7ef8e7ffd22974b7)
et divisant toute l’équation par
on aura
(C)
|
|
|
Or, comme
n’est pas divisible par
et que
ne l’est pas non plus