faisant
![{\displaystyle xx'\pm ayy'=p\mathrm {BC} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2fe23af7ebecee58d076d00dad0c368c8ba995)
et divisant toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{2}=p^{2}-aq^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c41c01b670a525e23c98de4a1128191aa80e63)
Si l’on combine de même l’équation
avec l’équation
(no 4), et que ni l’une ni l’autre des quantités ![{\displaystyle xy''+yx'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aae0f6151b7fbb73e3a36d0ab1c2d43c189424a)
ne soit divisible par
on parviendra, par la même méthode, à une équation de cette forme :
![{\displaystyle k^{2}=p^{2}-aq'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5de3ae790e9ef5b2320d05522171e1a672b9aa)
étant l’un des facteurs de
Donc, si
on aura deux équations qu’on traitera comme on a fait ci-dessus pour les équations (C) et (D). Si
on combinera les équations
et
et si cette combinaison ne donne pas le cas du no 6, elle donnera nécessairement une équation de cette forme :
![{\displaystyle k'^{2}=p''^{2}-aq''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f6451bdd33d1606efcddd44cec9842c20a7cad)
étant l’un des trois facteurs de ![{\displaystyle \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be30d6add602e05f39858715ffff7116c759c1fc)
Donc, si
ou
on aura deux équations analogues aux équations (C) et (D) ; mais, si
il faudra prendre une quatrième équation telle que
et la combiner avec quelqu’une des précédentes pour avoir ou le cas du no 6, ou au moins une nouvelle équation de cette forme :
![{\displaystyle k''^{2}=p'''^{2}-aq'''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909198b8920ce54abe77718deb6bc8287a6a2e3d)
étant égal à
ou à
ou à
ainsi, quel que soit
on aura nécessairement deux équations analogues aux équations (C) et (D), par lesquelles on pourra résoudre le problème (no 7).
En général il est évident, par tout ce que nous avons démontré jusqu’ici, qu’en multipliant ensemble deux quelconques des équations du no 4, on aura nécessairement ou une équation de cette forme :
comme dans le no 6, ou au moins une équation de cette autre forme :