étant l’un des trois facteurs de
Donc, si l’on prend quatre des équations du no 4, et qu’on en forme quatre produits différents, on parviendra nécessairement à l’équation
![{\displaystyle 1=p^{2}-aq^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ff02461e101f5fa50e7bc56928eca569a94de1)
ou au moins à deux équations de la forme
![{\displaystyle k^{2}=p^{2}-aq^{2},\qquad k'=p'^{2}-aq'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac11b4157334985fdfcc57e40a010cc8b57ad9e)
qu’on traitera ensuite comme on a fait plus haut pour les équations (C) et (D).
9. 4o Soit
étant des nombres premiers, il faudra, en vertu de l’équation (B), que l’une ou l’autre des quantités
soit divisible par
ou que l’une soit divisible seulement par
et l’autre par
ou enfin que l’une le soit seulement, par
et l’autre par
ce qui donne trois cas différents.
Dans le premier cas on aura d’abord, comme dans le no 6,
![{\displaystyle i=p^{2}-aq^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39dfca46b82444d37588eca2e813729416983f4b)
Dans le second cas on aura, comme dans le no 7, en mettant
au lieu de
![{\displaystyle A^{2}=p^{2}-aq^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5781524e0e5327bdb96fee9a08048224557862c)
Dans le troisième cas on fera
![{\displaystyle xy'\pm yx'=q\mathrm {CD} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80f93d866a7d472cc75749ddcb2c808c3086a53)
et l’équation (A) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A^{2}B^{2}C^{2}D^{2}} =(xx'\pm ayy')^{2}-q^{2}\mathrm {C^{2}D^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83db0597aacb48867b07f744fabcd26cecc7af4d)
de sorte qu’on aura aussi
![{\displaystyle xx'\pm ayy'=p\mathrm {CD} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30ce4d892176f892fce56814d06e83f9fbf5523)
et par conséquent, en divisant toute l’équation par ![{\displaystyle \mathrm {C^{2}D^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827c651ceecb2d96fb160b5d8fe6bbb66c8dbc10)
![{\displaystyle \mathrm {A^{2}B^{2}} =p^{2}-aq^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b8347bdb773d1b7758a20a74ccef70cbf11e0e)