Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/742

$k^{2}=p^{2}-aq^{2},$ $k$ étant l’un des trois facteurs de $\mathrm {R} .$ Donc, si l’on prend quatre des équations du n^o 4, et qu’on en forme quatre produits différents, on parviendra nécessairement à l’équation

$1=p^{2}-aq^{2},$

ou au moins à deux équations de la forme

$k^{2}=p^{2}-aq^{2},\qquad k'=p'^{2}-aq'^{2},$

qu’on traitera ensuite comme on a fait plus haut pour les équations (C) et (D).

9. 4^o Soit $\mathrm {R=ABCD} ,$ $\mathrm {A,B,C,D}$ étant des nombres premiers, il faudra, en vertu de l’équation (B), que l’une ou l’autre des quantités $xy'+yx',\ xy'-yx'$ soit divisible par $\mathrm {R} \,;$ ou que l’une soit divisible seulement par $\mathrm {BCD} ,$ et l’autre par $A\,;$ ou enfin que l’une le soit seulement, par $\mathrm {CD} ,$ et l’autre par $\mathrm {AB} ,$ ce qui donne trois cas différents.

Dans le premier cas on aura d’abord, comme dans le n^o 6,

$i=p^{2}-aq^{2}.$

Dans le second cas on aura, comme dans le n^o 7, en mettant $\mathrm {BCD}$ au lieu de $\mathrm {B} ,$

$A^{2}=p^{2}-aq^{2}.$

Dans le troisième cas on fera

$xy'\pm yx'=q\mathrm {CD} ,$

et l’équation (A) deviendra

$\mathrm {A^{2}B^{2}C^{2}D^{2}} =(xx'\pm ayy')^{2}-q^{2}\mathrm {C^{2}D^{2}} \,;$

de sorte qu’on aura aussi

$xx'\pm ayy'=p\mathrm {CD} \,;$

et par conséquent, en divisant toute l’équation par $\mathrm {C^{2}D^{2}} .$

$\mathrm {A^{2}B^{2}} =p^{2}-aq^{2}.$