par par conséquent leur somme le serait aussi ; donc, à cause de premier et différent de il faudrait que ou fût divisible par mais, si était divisible par il faudrait, en vertu de l’équation que le fût aussi, étant, par hypothèse, premier à ainsi et ne seraient pas premiers entre eux, ce qui répugne à la nature de ces quantités (no 1).
On prouvera de même, par l’équation que ne saurait être divisible par Donc il faudra nécessairement que l’on ait
ce qui réduira l’équation (A) à
par laquelle on voit que sera aussi divisible par ainsi, faisant
et divisant l’équation par on aura sur-lechamp
Si était égal à alors, puisque et ne sont pas divisibles par ils seront nécessairement impairs ; de sorte qu’on aurait et l’équation (B) deviendrait
or, les quantités ne peuvent être divisibles en même temps par parce qu’il faudrait que leur somme le fût aussi, et que, par conséquent, ou fût divisible par ce qui ne se peut. Donc il faudra nécessairement que l’une de ces quantités soit divisible par et par conséquent aussi par donc, etc.
On pourra abréger et simplifier de la même manière l’analyse des cas où
étant des nombres premiers.
11. Si l’on avait ces trois équations :