n’étant ni carré ni multiple d’un carré ; en ce cas l’équation deviendra
d’où l’on voit que le carré sera nécessairement divisible par et que par conséquent sa racine le sera par ainsi, faisant on aura, après avoir divisé par
Donc, si c’est-à-dire si est carré, on aura l’équation
dans laquelle et seront premiers entre eux, aussi bien que et de sorte qu’à l’aide de cette équation et des autres semblables, on parviendra, par les méthodes des nos 6 et suivants, à une équation de cette forme :
Si n’est pas égal à on élèvera l’équation au carré, et l’on aura
et l’on prouvera, comme ci-dessus, que sera premier à et que et seront premiers entre eux.
De sorte que, si est impair, on aura, au lieu de l’équation. celle-ci :
où et seront premiers entre eux aussi bien que et
Et, si est pair, on aura l’équation
où et seront premiers entre eux aussi bien que et
Donc, par le moyen de ces équations et des autres semblables, on parviendra aussi à une équation de cette forme : c’est-à-dire,