Qu’on élève cette équation au carré, et l’on aura
savoir
équation dans laquelle et seront premiers entre eux.
Or, dans l’équation est nécessairement premier à autrement serait divisible par la plus grande commune mesure de ces deux quantités, et par conséquent et ne seraient plus premiers entre eux, contre l’hypothèse ; donc et seront aussi premiers à donc, dans l’équation et seront aussi premiers entre eux ; autrement il faudrait que fût divisible par leur plus grande commune mesure, ce qui ne se peut à cause que et sont tous les deux premiers à donc, puisque est premier à et à il est clair que sera nécessairement premier à donc, dans l’équation
et seront premiers entre eux ; car, s’ils ne l’étaient pas, il faudrait que fût divisible par leur commune mesure ; ainsi et ne seraient plus premiers l’un à l’autre.
Donc, si est un nombre impair, on prendra, au lieu de l’équation celle-ci :
dans laquelle et seront premiers entre eux, aussi bien que et
Et, si est un nombre pair, alors sera aussi pair, et l’on aura l’équation
dans laquelle et seront premiers entre eux, comme aussi et
2o Supposons maintenant que ait un facteur carré en sorte que