Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/761

séquent $u$ sera aussi négative ; donc

$pp'-aqq'<p'.$

Donc il faudra par l’hypothèse que l’on ait $pp'-aqq'=p,$ et comme

$(pp'-aqq')^{2}-a(pq'-qp')^{2}=1\quad {\text{et}}\quad pp'-aqq'=p,$

il faudra aussi que l’on ait

$(pq'-qp')^{2}=q^{2},\quad {\text{d’où}}\quad pq'-qp'=\pm q.$

Mais

${\frac {p}{q}}={\sqrt {a+{\frac {1}{q^{2}}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {p'}{q'}}={\sqrt {a+{\frac {1}{q'^{2}}}}}\,;$

donc, à cause de $q'>q,$ on aura ${\frac {p}{q}}>{\frac {p'}{q'}}\,;$ donc $pq'-qp'$ sera positif ; de sorte qu’il faudra supposer

$pq'-qp'=q.$

Nous aurons donc ces deux équations :

$pp'-aqq'=p\quad {\text{et}}\quad pq'-qp'=q,$

d’où l’on tire

$p'={\frac {p^{2}+aq^{2}}{p^{2}-aq^{2}}}\quad {\text{et}}\quad q'={\frac {2pq}{p^{2}-aq^{2}}},$

c’est-à-dire, à cause de $p^{2}-aq^{2}=1,$

$p'=p^{2}+aqq^{2},\qquad q'=2pq,$

ou bien, ce qui revient au même,

${\begin{aligned}p'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{2}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{2}}{2}},\\q'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{2}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{2}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les valeurs de $p'$ et $q'$ sont contenues dans les formules générales du n^o 15, en y faisant $m=2.$

Soient ensuite $p''$ et $q''$ les valeurs de $x$ et de $y$ qui sont immédiatement