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plus grandes que $p'$ et $q'\,;$ en sorte qu’entre toutes les valeurs possibles de $x$ et de $y$ dans l’équation $x^{2}-ay^{2}=1,$ il n’y ait que $p$ et $p'$ qui soient moindres ques $p''$ et $q$ et $q'$ qui soient moindres que $q''.$

Multipliant l’équation $p''^{2}-aq''^{2}=1$ par $p^{2}-aq^{2}=1,$ et prenant dans cette multiplication le signe $-$ (n^o 5), on aura

$(pp''-aqq'')^{2}-a(pq''-qp'')^{2}=1,$

de sorte que $pp''-aqq''$ sera aussi une des valeurs de $x,$ et $pq''-qp''$ une des valeurs de $y\,;$ et l’on prouvera ici par une méthode semblable à la précédente que $pp''-aqq''>0$ et $<p'',$ et $pq''-qp''>0$ et $<q''\,:$ d’où il s’ensuit que l’on aura nécessairement

$pp''-aqq''=p\quad {\text{ou}}\quad =p'\quad {\text{et}}\quad pq''-qp''=q\quad {\text{ou}}\quad =q'.$

Or les équations

$pp''-aqq''=p\quad {\text{et}}\quad pq''-qp''=q$

donnent, à cause de $p^{2}-aq^{2}=1,$

$p''=p^{2}+aq^{2}=p'\quad {\text{et}}\quad q''=2pq=q',$

ce qui est contre l’hypothèse ; et les équations

$pp''-aqq''=p',\qquad pq''-qp''=q'$

donnent

$p''=pp'+aqq',\qquad q''=pq'+qp',$

c’est-à-dire, en mettant pour $p'$ et $q'$ leurs valeurs,

${\begin{aligned}p''=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{3}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{3}}{2}},\\q''=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{3}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{3}}{2{\sqrt {a}}}}.\end{aligned}}$

Ainsi les valeurs de $p''$ et $q''$ sont encore renfermées dans les formules du numéro cité, en y faisant $m=3.$

On prouvera par des raisonnements semblables que les valeurs de $x$ et de $y$ qui sont immédiatement plus grandes que $p''$ et $q'',$ et que nous