Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/782

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Pour trouver la raison de cette différence, supposons en général

ce qui est le cas de l’Exemple I, et l’on aura

d’où l’on voit que doit être divisible par Or, on sait que la somme de deux carrés n’est divisible que par les nombres qui sont aussi la somme de deux carrés ; donc, pour que les deux équations dont il s’agit aient lieu en même temps, il faut nécessairement que le nombre donné a soit la somme de deux carrés ; c’est ce qui a lieu dans l’Exemple I, où au lieu que dans l’Exemple II qui n’est point la somme de deux carrés. Ainsi, toutes les fois que ne sera point la somme de deux carrés, ce qui arrive, comme on sait, lorsque quelqu’un des facteurs premiers de est de cette forme on pourra être assuré qu’aucun nombre ne pourra être en même temps de la forme et de celle-ci quels que puissent être et et

Mais on ne peut pas dire réciproquement que lorsque est la somme de deux carrés tout nombre qui est de la forme de est aussi de la forme de au moins je n’ai pu parvenir jusqu’à présent à m’assurer en général de la vérité de cette proposition, quoique je l’aie d’ailleurs trouvée vraie dans un grand nombre de cas particuliers.

Au reste, il est évident que si est de la forme de tout nombre positif qui sera de la même forme sera aussi de la forme de car soient

on aura, en multipliant ensemble ces deux équations, et changeant les signes des deux membres,

Or, si l’on trouve dans deux seuls cas particuliers