et que
soit un nombre premier, alors on parviendra toujours à cette équation
![{\displaystyle -1=p^{2}-aq^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4edbe110cc7362e47428d2e647f81b390a8b902)
comme nous l’avons vu dans l’Exemple III ; de sorte qu’on en pourra conclure d’abord que tout nombre qui sera de la forme de
sera aussi de la forme de ![{\displaystyle ay'^{2}-x'^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0144193ba330f3ec04aa5de6cdae1ed3d805c2ef)
26. Remarque II. — Supposons maintenant que l’on ait l’équation
![{\displaystyle t^{2}-au^{2}=-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef3816e4f87cb47506f4cc026d99647a9114bef)
en prenant les carrés, on aura
![{\displaystyle (t^{2}+au^{2})^{2}-a(2tu)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5708b747f256b290fa42182883cd8d7665c80fd)
d’où l’on voit que
est une des valeurs de
qui satisfont à l’équation
![{\displaystyle x^{2}-ay^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87882183a4f4859e9ed4e59147adaff5d2991b88)
et que
est la valeur correspondante de
mais nous avons démontré (no 17) que toutes les valeurs de
et de
qui satisfont à cette équation sont renfermées dans ces formules :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\y=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f157fe51f67aa126a9b1372c94fbbb4f8529f52f)
étant un nombre quelconque positif, et
étant les plus petites valeurs qui satisfassent à la même équation
donc il faudra que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}t^{2}+au^{2}=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\2tu=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3622f68ed59c18594e9111b3a701cb70e3efa98d)
équations qui se réduisent à celle-ci :
![{\displaystyle \left(t\pm u{\sqrt {a}}\right)^{2}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c2f2006eca4a86be9efe1494306987aaec18fa)