ensuite il est évident que
et
ne peuvent être que les facteurs de la moitié de
de sorte qu’il ne s’agira que de chercher tous ces facteurs, et de les substituer à la place de
et
dans l’équation
Si l’on peut par ce moyen trouver deux valeurs de
et
alors, comme
![{\displaystyle p\pm q{\sqrt {a}}=(r\pm s{\sqrt {a}})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60cbfd8a0f2547bad725ab0c003a8865d60fd32)
on aura
![{\displaystyle \left(t\pm u{\sqrt {a}}\right)^{2}=\left(r\pm s{\sqrt {a}}\right)^{2m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782636edd5722dfbe1e21701b20817047563095e)
et faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}r'=&{\frac {\left(r+s{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(r-s{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\s'=&{\frac {\left(r+s{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(r-s{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9921dae983a1f7e9cc511a60ee6e87b046b2cbe9)
on aura
![{\displaystyle \left(t\pm u{\sqrt {a}}\right)^{2}=\left(r'\pm s'{\sqrt {a}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe81f67f935b3dab6119caaad47bc3628e4a0b12)
d’où
![{\displaystyle t\pm u{\sqrt {a}}=r'\pm s'{\sqrt {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1780da1f5a44d5a25e5c9258977e329ca953d961)
et
![{\displaystyle t=r',\qquad u=s'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86cabeb37aef04203928fae0e32b406ffa09eaa)
Or il est facile de voir que les valeurs de
et
sont les plus petites lorsque
auquel cas on a
et
donc les plus petites valeurs de
et de
seront
et
donc
et
seront les plus petites valeurs qui satisfassent à l’équation
Usage des méthodes précédentes pour la résolution des équations
du second degré à deux inconnues, par des nombres entiers.
27. Soit proposée l’équation
![{\displaystyle \alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}+\delta x+\varepsilon y+\zeta =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d6a0f510e5f914e008b62eeffd74d0935cb416)
dans laquelle
et
sont des nombres donnés entiers positifs ou négatifs, et
et
sont deux nombres inconnus qu’il s’agit de déterminer de manière qu’ils soient rationnels et entiers.