Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/786

Qu’on multiplie toute l’équation par $4\alpha ,$ et qu’on la mette sous cette forme :

$(2\alpha x+\beta y+\delta )^{2}=(\beta y+\delta )^{2}-4\alpha \left(\gamma y^{2}+\varepsilon y+\zeta \right)=0.$

Soient, pour abréger,

${\begin{aligned}2\alpha x+\beta y+\delta =&u,\\\beta ^{2}-4\alpha \gamma =&a,\\\beta \delta -2\alpha \varepsilon =&b,\\\delta ^{2}-4\alpha \zeta =&c,\end{aligned}}$

et l’équation précédente deviendra

$u^{2}=ay^{2}+2by+c.$

Cette équation étant multipliée para peut se mettre sous la forme suivante :

$au^{2}=(ay+b)^{2}+ac-b^{2},$

ou bien, en faisant

${\begin{aligned}ay+b=&t,\\b^{2}-ac=&\mathrm {R} ,\end{aligned}}$

sous celle-ci

$t^{2}-au^{2}=\mathrm {R} \,;$

d’où l’on voit d’abord que le nombre donné $\mathrm {R}$ doit être de cette forme : $t^{2}-au^{2},$ pour que le problème admette une solution rationnelle.

J’ai donné ailleurs^[1] la méthode de reconnaître si un nombre donné est de la forme de $t^{2}-au^{2},$ $a$ étant aussi donné ; et j’ai fait voir que pour qu’un nombre quelconque $\mathrm {R}$ soit de cette forme, il faut que chacun de ses facteurs premiers que je désignerai par $r$ soit tel, que $a^{\frac {r-1}{2}}-1$ soit divisible par $r\,;$ si cette condition n’a pas lieu, on peut assurer hardiment que $\mathrm {R}$ n’est pas de la forme dont il s’agit, et qu’ainsi le problème n’admet aucune solution rationnelle.

28. Supposons maintenant qu’on ait reconnu que le nombre $\mathrm {R}$ est en

1. On trouvera dans le Tome II le Mémoire auquel Lagrange fait ici allusion ; ce Mémoire a été inséré dans le Recueil de l’Académie de Berlin.$\qquad$(Note de l’Éditeur.)