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SUR L’INTÉGRATION

et par conséquent

$z=\int \mathrm {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}} ,$

et, puisque $y=zu,$

$y=\varpi \mathrm {(1-M)\int {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}}} ,$

ou bien, en ajoutant à cette intégration une constante quelconque $\mathrm {A} ,$

$y=\varpi \mathrm {(1-M)\left(A+\int {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}}\right)} .$

3. Soit à présent proposée l’équation

$y_{1}=\mathrm {R} y+\mathrm {T} ,$

où $y_{1}$ est le terme qui suit $y$ dans la suite des $y\,;$ puisque $y_{1}=y+dy,$ elle se réduira à

$dy+(1-\mathrm {R} )y=\mathrm {T} .$

Qu’on fasse donc

$\mathrm {1-R=M,\quad T=N} ,$

et l’on trouvera pour la valeur de $y$ l’expression suivante

$y=\varpi \mathrm {R\left(A+\int {\frac {T}{\varpi R_{1}}}\right)} .$

Si $\mathrm {R}$ est une quantité constante, il est clair que $\varpi \mathrm {R}$ et $\varpi \mathrm {R} _{1}$ deviennent des puissances de $\mathrm {R} ,$ dont l’exposant est égal au nombre qui dénote la place des termes $y$ et $y_{1}$ dans la suite des $y\,;$ soit donc $m$ ce nombre, de sorte que $y_{m}$ soit le même que $y,$ et on aura

$y_{m}=\mathrm {R} ^{m}\left(\mathrm {A} +\int {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {R} ^{m+1}}}\right).$

Si $\mathrm {T}$ est constant, $\int {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {R} ^{m+1}}}$ est égal à $\mathrm {T} \int {\frac {1}{\mathrm {R} ^{m+1}}},$ où les termes exprimés par