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D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

que nous venons d’examiner ; mais, puisque le calcul devient de cette façon trop long, il sera utile de la résoudre directement par les mêmes principes que nous avons employés jusqu’ici. De plus, afin de pouvoir plus aisément appliquer cette équation aux séries récurrentes, il sera mieux de considérer les termes $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots$ dans un ordre renversé, savoir que

$y_{2}+dy_{2}=y_{1},\quad y_{3}+dy_{3}=y_{2},$

et ainsi des autres, de sorte que les indices $1,2,3,\ldots$ dénotent la distance de chaque terme au dernier $y_{1}.$ Supposons

$y_{2}=p_{1},\quad {\text{et l’on aura}}\quad y_{3}=p_{2}\,;$

soit donc de nouveau

$p_{2}=q_{1}\quad {\text{et}}\quad p_{3}=q_{2}\,;$

soit encore

$q_{2}=r_{1}\quad {\text{et}}\quad q_{3}=r_{2}=s_{1},$

et l’on aura

$y_{2}=p_{1},\quad y_{3}=q_{1},\quad y_{4}=r_{1},\quad y_{5}=s_{1},\quad y_{6}=s_{2}\,;$

substituant ces valeurs dans la proposée, elle deviendra

$y_{1}+\mathrm {A} p_{1}+\mathrm {B} q_{1}+\mathrm {C} r_{1}+\mathrm {D} s_{1}+\mathrm {E} s_{2}=\mathrm {X} .$

Qu’on réduise à présent les suppositions précédentes en équations, savoir

$p_{1}-y_{2}=0,\quad q_{1}-p_{2}=0,\quad r_{1}-q_{2}=0,\quad s_{1}-r_{2}=0,$

et après les avoir multipliées par les coefficients indéterminés $a,b,c,\ldots ,$ qu’on les ajoute toutes à celle qu’on vient de trouver. Il en résultera la suivante

$\left.{\begin{aligned}y_{1}+&(\mathrm {A} +a)p_{1}+(\mathrm {B} +b)q_{1}+(\mathrm {C} +c)r_{1}+(\mathrm {D} +d)s_{1}\\&-ay_{2}-bp_{2}-cq_{2}-dr_{2}+\mathrm {E} s_{2}\end{aligned}}\right\}=\mathrm {X} .$

Qu’on fasse maintenant que chaque coefficient de la première partie soit multiple de la même manière de son correspondant dans la seconde,