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SUR L’INTÉGRATION
l’on parviendra aux mêmes équations qu’on a trouvées (6), et la quantité
sera déterminée par l’équation
![{\displaystyle a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a_{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8981f9074a54ce9df8dc0a14a1d5ea83092257)
dont on a supposé les racines
Donc, si l’on fait
![{\displaystyle y_{1}+(\mathrm {A} +a)p_{1}+(\mathrm {B} +b)q_{1}+(\mathrm {C} +c)r_{1}+(\mathrm {D} +d)s_{1}=z_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ec179cd49236a8df239f3e9d225bcb75e3a963)
l’équation se réduira à
![{\displaystyle z_{1}-az_{2}=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c335ab5cbeae28d0b07a59f8dd10be47a5289e)
qui, par une intégration semblable à celle du no 3, donnera
![{\displaystyle z_{m}=a^{m}\left({\text{const.}}+\int {\frac {\mathrm {X} }{a^{m+1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880972ad456da8068c2c24a2d038a310698614f0)
où
exprimera le quantième du terme
dans la suite des
Or, comme pour
l’on peut substituer chacune des cinq racines
de l’équation
on aura de même cinq valeurs différentes de
que nous exprimerons comme ci-dessus par
donc, à cause que
![{\displaystyle z_{m}=y_{m}+(\mathrm {A} +a)p_{m}+(\mathrm {B} +b)q_{m}+(\mathrm {C} +c)r_{m}+(\mathrm {D} +d)s_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216d853723999ef7defef98a7ecb3558e0847a20)
on parviendra, en chassant les lettres
à la formule
![{\displaystyle y_{m}=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b18f3bb79e5b1c992b0a6944c01d309916769e)
où
sont des constantes qu’on doit déterminer par la comparaison d’autant de termes donnés dans la suite des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
9. Si
est constant, par ce qu’on a démontré (4), la somme exprimée par
deviendra égale à
et nommant
la constante ajoutée à cette intégration, on aura finalement
![{\displaystyle \mathrm {Z} =\mathrm {L} a^{m}+\mathrm {X} {\frac {a^{m}-1}{a^{m}(a-1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c839843efbd5f9bf5a796c6fcd88936a21c6e02)