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D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.
d’où l’on tirera par conséquent les valeurs
en substituant à la place de
ses valeurs
10. De tout ceci l’on peut déduire le théorème général suivant ; si l’on a l’équation
![{\displaystyle y_{m}+\mathrm {A} y_{m-1}+\mathrm {B} y_{m-2}+\mathrm {C} y_{m-3}+\mathrm {D} y_{m-4}+\mathrm {E} y_{m-5}+\ldots =\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca703c37fad9d6dd5dd419af00773d180d856c97)
où les indices des
dénotent leurs places, que l’on cherche toutes les racines
de l’équation
![{\displaystyle a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5682d73e96949c3eaa3f79cd32a41c307b691f)
et l’on aura généralement
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{m}=\,&\mathrm {F} a_{1}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{1}^{m+1}}}\right)+\mathrm {G} a_{2}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{2}^{m+1}}}\right)+\mathrm {H} a_{3}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{3}^{m+1}}}\right)\\&+\mathrm {I} a_{4}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{4}^{m+1}}}\right)+\mathrm {K} a_{5}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{5}^{m+1}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a845b1ad4b7e99be56efd5aa9cb1e2a55a77be66)
et, dans le cas où
est constant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{m}&=\mathrm {L} \left(\mathrm {F} a_{1}^{m}+\mathrm {G} a_{2}^{m}+\mathrm {H} a_{3}^{m}+\mathrm {I} a_{4}^{m}+\mathrm {K} a_{5}^{m}+\ldots \right)\\&+\mathrm {X} \left(\mathrm {F} {\frac {a_{1}^{m}-1}{a_{1}-1}}+\mathrm {G} {\frac {a_{2}^{m}-1}{a_{2}-1}}+\mathrm {H} {\frac {a_{3}^{m}-1}{a_{3}-1}}+\mathrm {I} {\frac {a_{4}^{m}-1}{a_{4}-1}}+\mathrm {K} {\frac {a_{5}^{m}-1}{a_{5}-1}}+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d0a2d42e1ccd588024a57df03799cb67c4ad15)
Si
on pourra supprimer la constante
et l’on aura plus simplement
![{\displaystyle y_{m}=\mathrm {F} a_{1}^{m}+\mathrm {G} a_{2}^{m}+\mathrm {H} a_{3}^{m}+\mathrm {I} a_{4}^{m}+\mathrm {K} a_{5}^{m}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee53c8d24329022cb15b9d14bf633d80a2f6b1a)
formule connue pour l’expression du terme général de la suite des
telle que
![{\displaystyle y_{m}+\mathrm {A} y_{m-1}+\mathrm {B} y_{m-2}+\mathrm {C} y_{m-3}+\mathrm {D} y_{m-4}+\mathrm {E} y_{m-5}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca223efb837799aad76bfbb232df15a0ae4ae8c)
ce qui n’est autre chose qu’une suite récurrente, dont l’échelle de relation est ![{\displaystyle \mathrm {-A-B-C-D-E} -\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864050aab47b8a40e8b5219a790b336fa721a7c8)